什么叫实数（如何理解实数的连续性）

很多人都知道：在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点一一对应。

什么叫一一对应？一条数轴上有无数个点，可以说是“密密麻麻”的，实数有无数个，数都数不清楚。有理数和无理数构成实数，在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴。因此，数轴上的每个点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示。实数可以连续变化，就是说点可以在数轴上连续地运动。

如整数由小到大的变化是跳跃式的，从整数1到整数2，中间没有任何整数；但有理数从1变到2，它们之间是密密麻麻的，跨过了许多分数，看上去找不到一段“空白”，中间似乎没有跳跃。事实上有理数从l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，如2的算术平方根。

因此，有理数之间的“空白部分”加上无理数构成实数，实数就可以连续变化。这种连续性可以说变量x从1变到2，意味着x要取遍1到2之间的一切实数。

我们设想用一把剪刀剪断数轴，把数轴剪成两段，那么剪刀一定会剪在某个点上，即剪中了某一个实数。如果剪刀只是剪在一个隙缝上，意味着实数就不是连续的。

这时候有读者会产生疑问，如果没有隙缝，那么应该剪在哪里呢？如果剪在某一个点上，那么这个点在哪半截数轴上呢？我们假设是从数轴点A处被剪断的，那么这个点不在左半截上，就在右半截上。因为点不可分割，同时不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没有。因此，不管把数轴从什么地方分成两半截，总有半截是带端点的，而另外半截没有端点。从这个假想中我们可以领会到数轴、实数的连续性。

如果把全体负有理数放在一起组成甲集合，所有正有理数组成乙集合，则甲集合无最大数，乙集也无最小数。若从甲乙两个集合之间剪一刀，就剪在缝里了。然而在实数系中，这个缝就是用无理数填补起来。

这样把有理数分成甲、乙两部分，使乙中每个数比甲中每个数大，这种分法叫做有理数的一个戴德金分割，简称分割。有理数的每个分割确定一个实数。有缝隙的分割确定一个无理数，没有缝隙的分割确定一个有理数。这样建立实数系的方法是德国数学家戴德金(J.W.R. Dedekind，1831～1916)提出来的。

我们把全体实数分成甲、乙两个非空集合，如果甲集合里任一个数a比乙集合里的任一个数b都小，或者甲集合里有最大数，或者乙集里有最小数，两种情况必居其一，有且只有一种，这就叫做实数的连续性。

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